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Micro-économie : problème de consommation

Bonjour à tous,

J'ai un problème de micro-économie à résoudre pour lequel
j'aimerai
s
avoir votre aide.

Un consommateur a un budget de 1000 euros, qu'il consacre à l'achat de
deux biens, X et Y, dont les pris sont Px = 10 et Py = 5 euros.

L'utilité de ce consommateur est donné par la relation suivante : U =
XY

Je sais que les quantités consommées des deux biens à l'optimum, sont
de X = 50, et Y = 100, mais je ne sais comment obtenir ce résultat.

Je trouve néanmoins les deux équations suivantes :

1) Px X + Py Y = 1000 euros

2) TMS = rapport des prix : Um X / Um Y = Px / Py = 10 / 5

(Um = utilité marginale)

Mais je n'arrive pas à aller plus loin dans la résolution du problème
.

Je vous remercie pour vos lumières,
Cordialement.

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